बुल्स एंड काउज़5–7 चालों में संख्या का पता कैसे लगाएँ
बुल्स एंड काउज़ में किस्मत उतनी मायने नहीं रखती जितनी लगती है। अच्छी चाल के लिए सही अंक पकड़ना ज़रूरी नहीं, ज़रूरी यह है कि वह उन संख्याओं की सूची तेज़ी से छोटी करे जो अब भी जवाब हो सकती हैं। नीचे के आँकड़े हमारे बॉट के हैं: उसने सभी 5040 संभव संख्याएँ खेली हैं।
बॉट को कितनी चालें लगती हैं
बॉट को औसतन 5.27 चालें लगती हैं। 61% संख्याएँ वह पाँच या उससे कम चालों में हल कर लेता है, 98% छह चालों तक में, और 7 से ज़्यादा चालें कभी नहीं लगतीं।
| चालें | संख्याएँ | हिस्सा |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0.1% से कम |
| 2 | 4 | 0.1% से कम |
| 3 | 59 | 1.2% |
| 4 | 574 | 11.4% |
| 5 | 2430 | 48.2% |
| 6 | 1885 | 37.4% |
| 7 | 87 | 1.7% |
तुलना के लिए: सभी रणनीतियों की पूरी कंप्यूटर जाँच से पता चलता है कि कोई भी रणनीति औसतन 5.21 चालों से बेहतर नहीं हो सकती। बॉट आदर्श से एक चाल के दसवें हिस्से से भी कम पीछे है, और उसका तर्क एक वाक्य में समझाया जा सकता है।
मुख्य विचार: विकल्पों को बराबर बाँटें
हर जवाब बची हुई संख्याओं को समूहों में बाँटता है। अगर लगभग सभी विकल्प एक जैसा जवाब देते हैं, तो चाल से लगभग कुछ पता नहीं चलता। अगर समूह लगभग बराबर हैं, तो जवाब कुछ भी आए, कम विकल्प बचते हैं। हर चाल पर बॉट सभी 5040 संख्याएँ आज़माता है और वह संख्या चुनता है जो औसतन सबसे कम विकल्प छोड़े। चालों की समीक्षा भी इसी तर्क से सबसे अच्छी चालें चिह्नित करती है।
पहली चाल
जब तक कुछ पता नहीं है, सभी पहली चालें बराबर अच्छी हैं: अंकों के नाम बदलकर कोई भी संख्या 0123 बन जाती है। पहली चाल के बाद औसतन लगभग 931 विकल्प बचते हैं। 0123 पर जवाब ऐसे बँटते हैं:
| जवाब | संख्याएँ |
|---|---|
| 0 बुल, 1 काउ | 1440 |
| 0 बुल, 2 काउ | 1260 |
| 1 बुल, 1 काउ | 720 |
| 1 बुल, 0 काउ | 480 |
| 0 बुल, 0 काउ | 360 |
| 0 बुल, 3 काउ | 264 |
| 1 बुल, 2 काउ | 216 |
| 2 बुल, 0 काउ | 180 |
| 2 बुल, 1 काउ | 72 |
| 3 बुल, 0 काउ | 24 |
| 0 बुल, 4 काउ | 9 |
| 1 बुल, 3 काउ | 8 |
| 2 बुल, 2 काउ | 6 |
| 4 बुल, 0 काउ | 1 |
सबसे ज़्यादा बार जवाब एक या दो काउ होता है। “0 बुल, 0 काउ” जवाब असल में किस्मत वाला है: यह एक बार में चार अंक हटा देता है, और 360 संख्याएँ बचती हैं।
दूसरी और तीसरी चाल
- नए अंक लें। 4567 जैसी दूसरी चाल आम तौर पर उन्हीं 0123 को आगे-पीछे करने से ज़्यादा काम की होती है: इससे पता चलता है कि बाकी चार अंकों में कितने गुप्त अंक छिपे हैं, और इसलिए बची हुई जोड़ी 8 और 9 में भी।
- पुराने और नए मिलाएँ। जब पता हो कि 0123 में से दो अंक संख्या में हैं, तो दो पुराने और दो नए अंकों वाली चाल यह समझने में मदद करती है कि कौन-से।
- ऐसी चालों से न बचें जो जवाब नहीं हो सकतीं। कभी-कभी पिछले जवाबों से साफ़ मेल न खाने वाली संख्या, मेल खाने वाली किसी भी संख्या से बेहतर तरीके से विकल्प बाँटती है। बॉट ठीक यही करता है।
अंकों से ज़्यादा अहम हैं स्थान
जब अंकों का सेट साफ़ हो जाए, तो सिर्फ़ क्रम बचता है: चार अंकों को 24 तरीकों से रखा जा सकता है। याद रखें कि बिना बुल वाली चाल भी स्थानों के बारे में बताती है: उसका कोई भी अंक अपनी जगह पर नहीं है। इससे कुछ क्रम तुरंत कट जाते हैं, और अक्सर सिर्फ़ दो-तीन चालें बचती हैं।
जो पता चले, लिख लें
जो अंक पक्का संख्या में नहीं हैं उन्हें काटें, जो पक्का हैं उन पर निशान लगाएँ, और सोचें कि कौन-सा अंक कहाँ जा सकता है: नोटबुक इसी के लिए है। और स्ट्रीक को जोखिम में डाले बिना अभ्यास करना हो तो अभ्यास मोड खेलें।